Deret Aritmatika - Pengertian, Sejarah, Cara Menghitung, dan Contoh
Deret aritmatika merupakan salah satu jenis deret bilangan yang sangat penting dalam matematika. Deret ini termasuk dalam kategori deret matematika yang sederhana dan mudah dipahami. Deret aritmatika memiliki aturan penjumlahan yang sama pada setiap suku-sukunya. Dalam artikel ini, akan dibahas secara lengkap tentang pengertian, sejarah, cara menghitung, dan contoh deret aritmatika.
- Pengertian Deret Aritmatika
- Sejarah Deret Aritmatika
- Cara Menghitung Deret Aritmatika
- Cara Menghitung Deret Aritmatika dengan Rumus
- Cara Menghitung Deret Aritmatika dengan Metode Penjumlahan
- Contoh Soal Deret Aritmatika
- Contoh Soal 1
- Contoh Soal 2
- Contoh Soal 3
- Keyword Turunan
- Kesimpulan
- Deret Aritmatika: Pengertian, Sejarah, Cara Menghitung, Contoh
- Pengertian Deret Aritmatika
- Sejarah Deret Aritmatika
- Cara Menghitung Deret Aritmatika
- Contoh Deret Aritmatika
- Kesimpulan
Pengertian Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah sebuah urutan bilangan atau angka yang mempunyai aturan penjumlahan yang sama pada setiap suku-sukunya. Aturan penjumlahannya dikenal dengan sebutan beda atau selisih. Misalnya, deret aritmatika 2, 4, 6, 8, 10, ... memiliki selisih 2 antara dua suku berturut-turut. Dengan kata lain, setiap suku pada deret aritmatika tersebut ditambahkan dengan dua untuk mendapatkan suku berikutnya.
Deret aritmatika dihasilkan dengan cara menambahkan bilangan yang sama pada setiap suku. Bilangan yang ditambahkan tersebut disebut dengan selisih atau beda. Dalam notasi deret aritmatika, suku pertama ditandai dengan a1 dan selisihnya ditandai dengan d. Dengan begitu, suku kedua adalah a1+d, suku ketiga adalah a1+2d, dan seterusnya.
Sejarah Deret Aritmatika
Sejarah deret aritmatika berawal dari peradaban Yunani Kuno. Matematikawan Yunani, Pythagoras, dulu membahas tentang pola dalam jumlah angka dan perbedaan antara angka-angkanya. Pythagoras menemukan deret aritmatika dari tiga bilangan segitiga, yang kemudian menjadi dasar pembentukan aturan deret aritmatika.
Perkembangan deret aritmatika seterusnya dilakukan oleh matematikawan Persia, Al-Khawarizmi, pada abad ke-9. Al-Khawarizmi juga mengembangkan aturan deret aritmatika yang lebih canggih dan memecahkan beberapa masalah geomatrik.
Melanjutkan perkembangan itu, banyak matematikawan lain mengembangkan cara penggunaan deret aritmatika dalam menjawab masalah peluang dan statistika, teori angka, dan ekonomi.
Cara Menghitung Deret Aritmatika
Ada beberapa cara untuk menghitung deret aritmatika. Dalam artikel ini, akan dibahas dua cara yaitu cara menghitung dengan rumus dan cara menghitung dengan menggunakan metode penjumlahan.
Cara Menghitung Deret Aritmatika dengan Rumus
Rumus untuk menghitung deret aritmatika adalah:
S = (n/2) [2a + (n-1)d]
Di mana:
Contohnya:
Diberikan deret aritmatika: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Hitunglah jumlah 6 suku pertama!
Solusi:
Langkah 1: Diketahui
a = 1 (suku pertama)
n = 6 (banyak suku)
d = 2 (selisih antar suku)
Langkah 2: Memasukkan nilai pada rumus
S = (6/2)[(2x1) + (6-1)x2]
S = 3[2 + 10]
S = 36
Jadi jumlah enam suku pertama pada deret aritmatika tersebut adalah 36.
Cara Menghitung Deret Aritmatika dengan Metode Penjumlahan
Caranya sebagai berikut:
Contohnya:
Diberikan deret aritmatika: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21. Hitunglah jumlah 7 suku pertama!
Solusi:
Langkah 1: Diketahui
a = 3 (suku pertama)
d = 3 (selisih antar suku)
Langkah 2: Biasanya, dengan menggunakan simbol sigma , hasil jumlahan dari deret tersebut dapat dituliskan seperti berikut:
Jadi, jumlah tujuh suku pertama pada deret aritmatika tersebut adalah 126.
Contoh Soal Deret Aritmatika
Berikut ini adalah beberapa contoh soal deret aritmatika dan solusinya.
Contoh Soal 1
Jumlah tiga puluh bilangan pertama pada deret aritmatika bertingkat 5 adalah 450. Tentukan suku pertama dan bedanya.
Solusi:
Langkah 1: Tentukan nilai a dengan menggunakan rumus S = (n/2) [2a + (n-1)d]
450 = (30/2)[2a + (30-1)5]
450 = 15[2a + 145]
30 = 2a + 145
2a = -115
a = -57.5
Langkah 2: Tentukan nilai d
d = (a30 - a1)/(30-1)
d = (-247.5 - -57.5)/29
d = -7.5
Jadi, suku pertama adalah -57.5 dan bedanya adalah -7.5.
Contoh Soal 2
Jumlah enam belas suku pertama deret aritmatika adalah 400. Jika suku pertama adalah 2, tentukanlah beda (selisih) antara setiap suku pada deret tersebut.
Solusi:
Langkah 1: Tentukan nilai d dengan menggunakan rumus S = (n/2) [2a + (n-1)d]
400 = (16/2)[2(2) + (16-1)d]
400 = 8[4 + 15d]
50 = 4 + 15d
d = 3
Jadi, selisih antara setiap suku pada deret tersebut adalah 3.
Contoh Soal 3
Tentukan nilai suku ke-9 dari deret aritmatika dengan suku pertama 7 dan selisihnya adalah 4
Solusi:
Langkah 1: Menentukan nilai suku ke-9
Suku ke-9 = a1 + (n-1)d
Suku ke-9 = 7 + (9-1)4
Suku ke-9 = 7 + 32 = 39
Jadi, nilai suku ke-9 dari deret aritmatika tersebut adalah 39.
Keyword Turunan
Kesimpulan
Demikianlah artikel tentang deret aritmatika yang membahas pengertian, sejarah, cara menghitung, dan contoh. Deret aritmatika sering digunakan di bidang matematika dan ilmu eksakta karena sifatnya yang mudah dipahami dan dihitung. Semoga artikel ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan meningkatkan pemahaman mengenai deret aritmatika.
Deret Aritmatika: Pengertian, Sejarah, Cara Menghitung, Contoh
Deret aritmatika adalah jenis deret matematika yang terdiri dari angka-angka yang bertambah secara aritmatika. Masing-masing angka dalam deret aritmatika memiliki hubungan aritmatika dengan angka sebelumnya. Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang pengertian, sejarah, cara menghitung, dan contoh deret aritmatika.
Pengertian Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah deret matematika yang terdiri dari bilangan-bilangan yang bertambah dengan selisih tetap. Selisih ini disebut beda atau selisih aritmatika (d). Rumus umum untuk deret aritmatika adalah:
an= a1 + (n - 1)d
dimana:
Dalam deret aritmatika, setiap suku merupakan jumlah dari suku sebelumnya dan beda aritmatika. Sebagai contoh, deret 1, 3, 5, 7, 9 merupakan deret aritmatika dengan beda 2. Suku pertama (a1) adalah 1, dan setiap suku berikutnya ditentukan dengan menambahkan beda (2). Jadi, suku kedua (a2) adalah 3 (a2 = a1 + d), suku ketiga (a3) adalah 5 (a3 = a2 + d), dan seterusnya.
Sejarah Deret Aritmatika
Deret aritmatika pertama kali ditemukan oleh ahli matematika Persia bernama Omar Khayyam pada abad ke-11. Khayyam menemukan deret aritmatika ketika memecahkan persamaan kuadratik. Deret aritmatika kemudian dipelajari oleh ahli matematika Eropa pada abad ke-17 dan kemudian digunakan dalam berbagai area ilmu pengetahuan, termasuk fisika, kimia, dan ekonomi.
Cara Menghitung Deret Aritmatika
Untuk menghitung deret aritmatika, kita perlu mengetahui suku pertama (a1), beda (d), dan jumlah suku (n). Jumlah seluruh suku pada deret aritmatika dinyatakan dengan rumus:
Sn = (n/2)(a1 + an)
dimana:
Sebagai contoh, kita akan menghitung jumlah seluruh suku pada deret aritmatika 1, 3, 5, 7, 9. Pertama, kita perlu mengetahui suku pertama (a1), beda (d), dan jumlah suku (n). Suku pertama (a1) adalah 1, beda (d) adalah 2, dan jumlah suku (n) adalah 5. Berdasarkan rumus di atas, kita dapat menghitung jumlah seluruh suku (Sn):
Sn = (5/2)(1 + 9) = 25
Jadi, jumlah seluruh suku pada deret aritmatika 1, 3, 5, 7, 9 adalah 25.
Contoh Deret Aritmatika
Berikut adalah beberapa contoh deret aritmatika:
Dalam hal ini, kita dapat menghitung jumlah seluruh suku pada deret aritmatika di atas dengan menggunakan rumus yang telah dijelaskan di atas.
Kesimpulan
Deret aritmatika adalah deret matematika yang terdiri dari angka-angka yang bertambah secara aritmatika. Masing-masing angka dalam deret aritmatika memiliki hubungan aritmatika dengan angka sebelumnya. Deret aritmatika pertama kali ditemukan oleh Omar Khayyam pada abad ke-11. Untuk menghitung deret aritmatika, kita perlu mengetahui suku pertama (a1), beda (d), dan jumlah suku (n). Jumlah seluruh suku pada deret aritmatika dapat dihitung dengan menggunakan rumus Sn = (n/2)(a1 + an).